제 97호숫자3분조회 45
발행 · 잡학서고 별관
우리 반에 생일 같은 친구, 생각보다 흔할까요?
한 해는 365일인데, 몇 명쯤 모이면 생일이 겹칠까요?
생일이 같은 두 사람은 생각보다 훨씬 흔해요. 아무렇게나 모인 23명 안에 생일이 같은 사람이 한 쌍이라도 있을 확률은 약 50.7%, 거의 절반이에요. 한 해가 365일인 걸 떠올리면 놀랄 만큼 적은 숫자예요.
나와 같은 날을 찾는 게 아니에요
이 숫자가 이상하게 느껴지는 건 보통 나와 생일이 같은 사람을 떠올리기 때문이에요. 하지만 질문은 누구든 두 사람의 생일이 겹치느냐예요. 23명이 있으면 두 사람씩 짝을 짓는 방법이 253가지나 돼요.
첫 번째 사람은 다른 22명과, 두 번째 사람은 남은 21명과 견줘 볼 수 있어요. 이렇게 더해 가면 짝의 수가 빠르게 늘어나고, 생일이 겹칠 기회도 그만큼 많아져요.
겹치지 않을 확률부터 세요
계산은 거꾸로 하면 쉬워요. 모두 생일이 다를 확률을 구한 뒤 전체에서 빼는 거예요. 두 번째 사람이 첫 사람과 다를 확률은 365분의 364, 세 번째 사람이 앞의 두 사람과 다를 확률은 365분의 363이에요. 이렇게 23명까지 곱하면 약 49.3%가 나오고, 나머지 약 50.7%가 생일이 겹칠 확률이에요.
사람이 늘면 확률은 더 빨리 올라가요. 30명이면 약 71%, 50명이면 약 97%, 57명이면 약 99%가 돼요.
「183명은 모여야 한다」는 오해
많은 사람이 한 해의 절반을 넘는 183명쯤은 모여야 반반이 된다고 짐작해요. 이건 나와 생일이 같은 사람을 찾는 문제와 섞인 생각이에요. 23명 중에 내 생일과 같은 사람이 있을 확률은 약 6%뿐이고, 이 확률이 절반을 넘으려면 253명쯤에게 물어봐야 해요. 물어본 사람들끼리 생일이 겹치기도 해서 183명보다 더 필요해요.
생일이 어느 달에 몰리면 계산이 틀어질 것 같지만, 고르지 않을수록 겹칠 확률은 오히려 조금 올라가요. 실제 출생 자료로 따져도 반반이 되는 인원은 23명 그대로라는 분석이 있어요.
월드컵 명단과 보안 기술에서도
2014년 브라질 월드컵 때 BBC가 23명씩인 32개 팀 명단을 살펴보니, 절반인 16개 팀에 생일이 같은 선수가 있었어요. 한국 대표팀에는 그런 짝이 두 쌍이나 있었어요.
이 원리는 컴퓨터 보안에서도 쓰여요. 파일을 짧은 고유값(해시)으로 바꿀 때 값의 종류가 아주 많아도, 생각보다 적은 수에서 같은 값이 나올 수 있어요. 이를 노리는 방법을 「생일 공격」이라 불러서, 보안용 해시는 일부러 아주 길게 만들어요.
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23명만 모여도 생일 같은 두 사람이 있을 확률은 절반쯤이에요. 내 생일이 아니라 누구든 두 사람이 짓는 짝의 수가 빠르게 늘기 때문이에요.
정리·참고 메모 · Britannica·Wikipedia. Britannica 「Birthday problem」(23명 약 50%·57명 약 99%·183명 오해·253명)과 Wikipedia 「Birthday problem」(확률표·2014 월드컵 BBC 분석·생일 공격)을 참고했어요. 생일이 고르게 퍼지고 2월 29일을 뺀 계산이에요.
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