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प्रकाशक · जीके पुस्तकालय · परिशिष्ट
क्या हमारी कक्षा में एक ही दिन जन्मदिन वाले दोस्त हमारी सोच से ज़्यादा आम हैं?
साल में 365 दिन होते हैं, तो लगभग कितने लोग इकट्ठा होने पर उनके जन्मदिन एक ही दिन पड़ेंगे?
एक ही दिन जन्मदिन वाले दो लोग हमारी सोच से कहीं ज़्यादा आम हैं। यूँ ही इकट्ठा हुए 23 लोगों में कम-से-कम एक जोड़ी ऐसी होने की संभावना लगभग 50.7% है, यानी करीब आधी। यह याद करें कि साल में 365 दिन होते हैं, तो यह संख्या हैरान करने वाली हद तक छोटी है।
बात आपके जन्मदिन वाले दिन को ढूँढ़ने की नहीं है
यह संख्या अजीब इसलिए लगती है क्योंकि हम आम तौर पर ऐसे व्यक्ति के बारे में सोचते हैं जिसका जन्मदिन हमारे जन्मदिन वाले दिन हो। लेकिन सवाल यह है कि क्या किन्हीं भी दो लोगों का जन्मदिन एक ही दिन पड़ता है। 23 लोग हों, तो दो-दो लोगों की जोड़ियाँ बनाने के कुल 253 तरीके होते हैं।
पहले व्यक्ति की तुलना बाकी 22 लोगों से और दूसरे व्यक्ति की तुलना बचे हुए 21 लोगों से कर सकते हैं। इस तरह जोड़ते जाने पर जोड़ियों की संख्या तेज़ी से बढ़ती है, और जन्मदिन एक ही दिन पड़ने के मौके भी उतने ही बढ़ जाते हैं।
पहले अलग-अलग जन्मदिन होने की संभावना गिनें
उलटे तरीके से गणना करना आसान है। पहले सबके जन्मदिन अलग-अलग होने की संभावना निकालें, फिर उसे कुल संभावना में से घटा दें। दूसरे व्यक्ति का जन्मदिन पहले व्यक्ति से अलग होने की संभावना 365 में से 364 है, और तीसरे व्यक्ति का जन्मदिन पहले दो लोगों से अलग होने की संभावना 365 में से 363 है। इसी तरह 23 लोगों तक इन संभावनाओं को गुणा करने पर लगभग 49.3% मिलता है, और बचा हुआ लगभग 50.7% जन्मदिन एक ही दिन पड़ने की संभावना है।
लोगों की संख्या बढ़ने पर संभावना और तेज़ी से बढ़ती है। 30 लोग हों तो लगभग 71%, 50 लोग हों तो लगभग 97%, और 57 लोग हों तो लगभग 99% हो जाती है।
यह गलतफ़हमी कि “कम-से-कम 183 लोग इकट्ठा होने चाहिए”
बहुत-से लोग अंदाज़ा लगाते हैं कि संभावना आधी होने के लिए साल के आधे दिनों से अधिक, यानी लगभग 183 लोगों का इकट्ठा होना ज़रूरी है। इस सोच में अपने जन्मदिन वाले दिन जन्मदिन रखने वाले व्यक्ति को ढूँढ़ने का सवाल घुल-मिल गया है। 23 लोगों में किसी का जन्मदिन आपके जन्मदिन वाले दिन होने की संभावना केवल लगभग 6% है, और यह संभावना आधे से अधिक होने के लिए आपको लगभग 253 लोगों से पूछना होगा। जिन लोगों से आपने पूछा है, उनके जन्मदिन भी आपस में एक ही दिन पड़ सकते हैं, इसलिए 183 से अधिक लोगों की ज़रूरत होती है।
ऐसा लग सकता है कि किसी महीने में ज़्यादा जन्मदिन होने से गणना गड़बड़ा जाएगी, लेकिन जन्मदिन जितने असमान रूप से बँटे हों, उनके एक ही दिन पड़ने की संभावना उलटे थोड़ी बढ़ जाती है। एक विश्लेषण के अनुसार, जन्म के वास्तविक आँकड़ों से गणना करने पर भी संभावना आधी होने के लिए लोगों की संख्या 23 ही रहती है।
विश्व कप की टीम सूचियों और सुरक्षा तकनीक में भी
2014 में ब्राज़ील में हुए विश्व कप के दौरान BBC ने 23 खिलाड़ियों वाली 32 टीमों की सूचियाँ देखीं, तो पाया कि आधी, यानी 16 टीमों में एक ही दिन जन्मदिन वाले खिलाड़ी थे। दक्षिण कोरिया की राष्ट्रीय टीम में तो ऐसी दो जोड़ियाँ थीं।
यह सिद्धांत कंप्यूटर सुरक्षा में भी इस्तेमाल होता है। फ़ाइलों को छोटे विशिष्ट मानों (हैश) में बदलते समय, संभव मानों की संख्या बहुत अधिक होने पर भी हमारी सोच से कम संख्या में एक ही मान दोबारा मिल सकता है। इसका फ़ायदा उठाने के तरीके को “बर्थडे अटैक” कहा जाता है, इसलिए सुरक्षा के लिए इस्तेमाल होने वाले हैश जानबूझकर बहुत लंबे बनाए जाते हैं।
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सिर्फ़ 23 लोग इकट्ठा हों, तब भी एक ही दिन जन्मदिन वाले दो लोग होने की संभावना लगभग आधी होती है। इसकी वजह आपका जन्मदिन नहीं, बल्कि किन्हीं भी दो लोगों से बनने वाली जोड़ियों की संख्या का तेज़ी से बढ़ना है।
टिप्पणियाँ और संदर्भ · Britannica·Wikipedia. Britannica के “Birthday problem” (23 लोगों पर लगभग 50%·57 लोगों पर लगभग 99%·183 लोगों वाली गलतफ़हमी·253 लोग) और Wikipedia के “Birthday problem” (संभावना तालिका·2014 विश्व कप का BBC विश्लेषण·बर्थडे अटैक) का संदर्भ लिया गया है। इस गणना में जन्मदिनों को समान रूप से बँटा हुआ माना गया है और दूसरे (2) महीने की 29 तारीख को शामिल नहीं किया गया है।
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